浅谈勒让德三平方和定理、拉格朗日四平方和定理

这里介绍下数论中的勒让德三平方和定理、拉格朗日四平方和定理。并介绍如何巧妙利用它进行解决问题

基本原理

1. 拉格朗日四平方和定理

拉格朗日四平方和定理，也被称为Bachet猜想。该定理指出任一自然数都可以表示为四个整数平方之和。该定理由拉格朗日于1770年证明。即：

举个栗子，如下所示

2. 勒让德三平方和定理

勒让德三平方和定理指出如果一个自然数n符合下述条件时，则可以表示为三个整数平方之和。其中a、b均为非负整数

实践

学习过程中要善于理论联系实际。故在介绍完勒让德三平方和定理、拉格朗日四平方和定理后，现在我们来进行实践。这里以LeetCode的第279题——完全平方数 为例

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是

示例 1
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示
1 <= n <= 104

首先说明该题可通过动态规划解决，但这里为了说明上述两个定理的应用。故我们采用数学解法。具体地：

1. 当n满足4^k*(8m+7)形式时，由于不满足勒让德三平方和定理。同时结合拉格朗日四平方和定理易知，此时直接返回4即可
2. 当n不满足4^k*(8m+7)形式时，即满足勒让德三平方和定理。则此时答案只能会是1、2、3中的一个
   • 如果n为一个完全平方数，则此时答案必然为1
   • 如果n满足a^2+b^2形式，即答案为2。则我们只需对所有的a进行枚举，其中a的范围为[1, √n]。然后判断n-a^2是否为完全平方数即可
   • 如果排除了上述所有情形，则答案只能为3。即n满足a^2+b^2+c^2形式

此时，我们不难通过Java实现上述思路。代码如下所示

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        // 如果不满足 勒让德三平方和定理, 则其必然只能满足 拉格朗日四平方和定理
        // 即:  n = a*a + b*b + c*c + d*d
        if( checkAnswer4(n) ) {
            return 4;
        }

        // 判断是否为 n = a*a 场景
        if( isSquare(n) ) {
            return 1;
        }

        // 判断是否为 n = a*a + b*b 场景
        for (int a=1; a*a<=n; a++) {
            int b = n - a*a;
            if( isSquare(b) ) {
                return 2;
            }
        }

        // 由于满足勒让德三平方和定理条件, 故此时只可能为3
        // 即:  n = a*a + b*b + c*c
        return 3;
    }

    /**
     * 判断n是否能表示为 4^k*(8m+7) 形式, 即不满足 勒让德三平方和定理
     * @param n
     * @return
     */
    private boolean checkAnswer4(int n) {
        while ( n%4==0 ) {
            n = n / 4;
        }

        boolean res = (n%8 == 7);
        return res;
    }

    /**
     * 判断是否为完全平方数
     * @param n
     * @return
     */
    private boolean isSquare(int n) {
        int x = (int)Math.sqrt(n);
        boolean res = ( x*x == n);
        return res;
    }
}