文件在抽屉的概率问题

《思考的乐趣》一书第2节 “找东西背后的概率”,讲了一个很有趣的题目:

我的书桌有8个抽屉,分别用数字1到8编号。每次拿到一份文件后,我都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但我非常粗心,有 $\frac{1}{5}$ 的概率会忘了把文件放进抽屉里,最终把这个文件搞丢。
现在,我要找一份非常重要的文件。我将按顺序打开每一个抽屉,直到找到这份文件为止(或者很悲剧地发现,翻遍了所有抽屉都没能找到这份文件)。考虑下面三个问题:
(1) 假如我打开了第一个抽屉,发现里面没有我要的文件。这份文件在其余7个抽屉里的概率是多少?
(2) 假如我打开了前4个抽屉,发现里面没有我要的文件。这份文件在剩下的4个抽屉里的概率是多少?
(3) 假如我打开了前7个抽屉,发现里面没有我要的文件。这份文件在最后1个抽屉里的概率是多少?

book.jpg

对于第一个问题:很多人第一反应答案是:

我们首先对事件A、B做如下假设:
事件A:文件不在第1个抽屉
事件B:文件在第2-8个抽屉中

所以,$P_1$ 其实表示的是事件A、B同时发生的概率,即, 。而题目实际上想让我们求的是条件概率$P(B|A)$,现给出如下两种方法求解:

  • 条件概率定义法

$P(AB)$ :如前所述,即A、B事件同时发生的概率,即$\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{10}$

$P(A)$ :文件不在第一个抽屉中的概率,其有两种情况:一是在其余7个抽屉中,另一则为文件弄丢了。即,$\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8} + \frac{1}{5} = \frac{9}{10}$

则将上述值带入$(1)$式,即可知:

  • 贝叶斯公式

由$(1)$ 式条件概率的定义,可以很容易证明贝叶斯公式,即$(2)$式。

$P(A|B)$ :文件在第2-8个抽屉的条件下,文件不在第一个抽屉的条件概率,易知为1

$P(B)$ :文件在第2-8个抽屉中的概率,即,$\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8} = \frac{7}{10}$

$P(A)$ :由上文可知,即$\frac{9}{10}$

将上述值带入$(2)$式,即可知:

对于问题2、3同理 ……

作者顾森则在书中给出了一个非常巧妙的方法 :

注意到,平均每10份文件就有两份被搞丢,其余8份平均地分给了8个抽屉。假如我把所有搞丢了的文件都找了回来,那么它们应该还占2个抽屉。这让我们想到了这样一个有趣的思路:在这8个抽屉后加上2个虚拟抽屉——抽屉9和抽屉10,这两个抽屉专门用来装我丢掉的文件。我们甚至可以把题目等价地变为:随机把文件放在10个抽屉里,但找文件时不允许打开最后2个抽屉。当我已经找过n个抽屉但仍没找到我想要的文件时,文件只能在剩下的10-n个抽屉里,但是我只能打开剩下的8-n个抽屉,因此所有的概率是$\frac{8-n}{10-n}$。当n分别等于1、4、7时,这个概率值分别是$\frac{7}{9}$、$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$

0%