统计学分两大类：描述统计学和推断统计学。前者是通过指标参数(比如，平均数，四分位数，标准差等)描述和研究数据集的整体情况；后者则主要研究如何利用样本数据集来推断总体数据特征。而推断统计学中的假设检验: 即是指在一定的假设条件下根据样本来推断总体特征。本文将对假设检验中的基本理论做介绍
基本原理
我们首先需提出一个我们期望证实的假设(Hypothesis )，记为$H_1$假设。但是现实中很多情况下，我们很难直接证明$H_1$假设的真伪性。故，我们从$H_1$假设的反面提出一个新的假设——$H_0$假设。由此将对$H_1$假设的真伪判定转换为对$H_0$假设的真伪判定。如果有把握证明$H_0$假设是假，则$H_1$假设得证；若没有把握证明$H_0$假设是假，则说明$H_1$假设不能被接受
我们一般把$H_0$假设称作虚无假设(Null hypothesis) ，亦或叫作零假设、原假设。笔者更倾向于称之为虚无假设，因为该假设是我们为了方便检验$H_1$假设而提出的，且期望虚无假设$H_0$能够被证伪；而把$H_1$假设称之为备择假设(Alternative hypothesis) ，亦或叫作对立假设，该假设是我们期望证实的假设，一旦虚无假设$H_0$被证伪拒绝，则该假设即被备你选择，被你接受
说到这里，可能有的朋友会发现，假设检验的思想和数学中的反证法很类似。但其实际上又有所区别，后者是在假设某一条件时发生了不合理的现象——逻辑的矛盾，从而否定该假设的条件，从而使得原条件得证。而假设检验中的不合理现象的推断依据是小概率原理:
小概率原理是指一个事件的发生概率很小，那么它在一次试验中是几乎不可能发生的，但在多次重复试验中是必然发生的。统计学上，把小概率事件在一次实验中看成是实际不可能发生的事件，一般认为等于或小于0.05或0.01的概率为小概率
检验假设时，我们首先根据实际场景的需要，确定出判定小概率事件的概率阈值，通常取0.05(即5%)，记为$\alpha = 5\%$，在假设检验中，$\alpha$被称作为显著性水平。在$H_0$假设条件下，计算出现给定样本数据的发生概率，此概率即为统计学中常常见到的p值(p-value)
- 当 $p \leq \alpha$ 时，说明在$H_0$假设条件下，出现给定的样本数据是一个小概率事件，而实际上样本数据确实如此，即发生了不合理现象。故认为$H_0$假设是错误的、被证伪。从而，拒绝$H_0$假设，接受$H_1$假设
- 当 $p > \alpha$ 时，说明在$H_0$假设条件下，出现给定的样本数据不是一个小概率事件，出现给定的样本数据是合理的，故$H_0$假设被接受，而$H_1$假设被拒绝
具体的校验过程中，又可分为 单侧校验(左侧、右侧) 和 双侧校验 ，如下所示。如果所给样本数据X落在拒绝域中，即可拒绝$H_0$假设，接受$H_1$假设；反之则接受$H_0$假设，拒绝$H_1$假设
小试牛刀
现以《程序员的数学2·概率统计》一书中的例题为例，来展示假设检验的具体过程
假设甲乙两人共比赛100次，其中甲61胜39败。下面是他们对该结果的争论
甲: 我比你更强
乙: 不，这纯属偶然
甲: 偶然？那也差距太大了吧！这明显是我们的实力差距
乙: 也不一定吧，就算实力差不多，偶尔出现这样的结果也不奇怪吧？
甲: 没那种事
乙: 真的吗？你具体计算一下试试？
甲: 好，我现在就算。如果出现现在这个结果(甲61胜39败)的概率小于5%，你就承认这是实力的差距吧
通过一次比赛结果来判断总体的实力水平，就可以通过假设检验来进行推断。甲认为自己的比赛水平高于乙，故，可以提出如下的备择假设:
$H_1$: 甲获胜的概率 > 1/2
我们无法直接对我们期望证实的$H_1$假设来进行判定，所以，我们需要提出一个虚无假设来进行判定推断
$H_0$: 甲获胜的概率 = 1/2
上述场景中的5%，即为我们根据实际需要来设定的显著性水平$\alpha$
根据虚无假设$H_0$的条件，计算出现上述比赛结果的概率，易知100次比赛中甲获胜X次数的概率符合二项分布: $X \sim B(100,1/2)$
这里利用Matlab计算可得: $P(X\geq 61) = 0.0176 < \alpha = 5\%$，故我们知道在$H_0$虚无假设下，出现当前比赛结果的概率远低于我们之前设定的显著性水平$\alpha = 0.05$，即在$H_0$假设下，出现当前比赛结果是一个小概率事件，而实际样本数据即是这样的，故发生了不合理现象，所以，我们拒绝了虚无假设$H_0$，接受了备择假设$H_1$，即，出现这样的比分结果，是由于甲的实力水平高于乙，而不是偶尔恰好发生的
假设检验的两类错误
从上面的例子中，我们基本了解了假设检验的具体过程和实施步骤。在这个例子中，我们所取的显著性水平$\alpha$ 为5%，而如果我们选用1%的显著性水平，则我们最终的结果将于上题的结论完全相反，即， $P(X\geq 61) = 0.0176 > \alpha$，接受$H_0$虚无假设，拒绝$H_1$备择假设。可以看出，选用不同的显著性水平$\alpha$，将会大大影响假设检验的最终结果，也就是说假设检验的推断结果，不是百分之百的正确，而是有一定的犯错概率。在假设检验中的存在两类错误:
- Ⅰ型错误: 当虚无假设$H_0$实际上是正确的，我们却错误地拒绝了它。又叫作第一类错误、$\alpha$错误
- Ⅱ型错误: 当虚无假设$H_0$实际上是错误的，我们却错误地接受了它。又叫作第二类错误、$\beta$错误
如上文所述，在假设检验中，当p值(p-value)小于显著性水平$\alpha$时，即会拒绝虚无假设$H_0$。所以，Ⅰ型错误的发生概率即为显著性水平$\alpha$
